Σετ Προβλημάτων 4

1.

3.33

Από την σχέση (3.97) έχουμε

                  (1)

Για να υπολογίσουμε τον πρώτο όρο χρησιμοποιούμε διανυσματικές ταυτότητες

αφου  και  είναι σταθερό επομένως οι παράγωγοι του μηδενίζονται. Για τον όρο που απομένει έχουμε

Για τον δεύτερο  όρο της (1) χρησιμοποιούμε την σχέση  και τελικά παίρνουμε

2.

4.4

Το σημειακό φορτίο παράγει πεδίο με μέτρο  στην θέση του ουδέτερου ατόμου. Τοπεδίο αυτό πολώνει το άτομο και του δίνει διπολική ροπή  όπου  είναι δίανυσμα με αρχή το ουδέτερο άτομο και τέλος το σημειακό φορτίο. Το πολωμένο άτομο παράγει ηλεκτρικό πεδίο στην θέση του σημειακού φορτίου που δίνεται από την σχέση  όπου κάναμε χρήση του αποτελέσματος του προηγούμενου προβλήματος.

Άρα η δύναμη που ασκείται στο σημειακό φορτίο είναι

3.

4.6

Θεωρούμε ένα δίπολο είδωλο τοποθετημένο κάτω από το επίπεδο (δείτε σχήμα). Το δίπολο προσεγγίζεται από δύο αντίθετα φορτία σε μικρή απόσταση μεταξύ τους.

Το δίπολο είδωλο   δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο  στην θέση του πραγματικού διπόλου και προκαλεί ροπή . Αν επιλέξουμε σύστημα συν/νων  με κέντρο το δίπολο είδωλο και άξονα z κατά μήκος της αντίστοιχης διπολικής ροπής τότε το πραγματικό δίπολο μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται πάνω στο επίπεδο x-z με συν/νες . Από την εξίσωση (3.98), το ηλεκτρικό πεδίο στο πραγματικό δίπολο είναι . Ακόμα, από το σχήμα προκύπτει ότι  και επομένως μπορούμε να βρούμε το εξωτερικό γινόμενο

όπου έχουμε κάνει χρήση των σχέσεων  και . Η ροπή μηδενίζεται για  και  όπου και ισορροπεί το δίπολο. Η ισορροπία  όμως είναι ευσταθής μόνο για    και  αφού για  η ροπή αλλάζει πρόσημο.

4.

4.10

α.

β. Προφανώς το συνολικό ελεύθερο φορτίο είναι μηδέν. Αρα μόνο τα δέσμια φορτία συνεισφέρουν στο ηλεκτρικό πεδίο. Λόγω συμμετρίας το ηλεκτρικό πεδίο θα πρέπει να είναι ακτινικό και έτσι κάνουμε χρήση του νόμου του Gauss. Θεωρούμε Γκαουσιανή σφαίρα ακτίνας r στο εσωτερικό της σφαίρας και έχουμε . Για εξωτερική Γκαουσιανή σφαίρα το περιεχόμενο φορτίο είναι  ενώ το συνολικό επιφανειακό φορτίο είναι . Άρα το συνολικό περικλειόμενο φορτίο για την εξωτερική Γκαουσιανή σφαίρα είναι μηδέν και επομένως .

5.

4.13

Εφαρμόζοντας την μέθοδο του παραδείγματος 4.3 θεωρούμε το ομογενώς πολωμένο κύλινδρο σαν δύο κυλίνδρους με αντίθετες ομογενείς κατανομές  που διαχωρίζονται από μικρή απόσταση d.

 Για έναν ομογενώς φορτισμένο κύλινδρο έχουμε  από τον νόμο του Gauss  όπου  το ακτινικό διάνυσμα. Στον χώρο επικάλυψης των κυλίνδρων  έχουμε συνεισφορά και από τους δυο κυλίνδρους και το συνολικό πεδίο γράφεται  όπου το  έχει την αντίθετη φορά από αυτή που φαίνεται στο σχήμα. Οι δύο κύλινδροι μπορούν να θεωρηθούν σαν γραμμικές πυκνότητες φορτίου με φορτία ανα μονάδα μήκους  που αντιστοιχεί σε σειρά διπόλων με διπολικές ροπές . Άρα η ολική διπολική ροπή τμήματος l του πολωμένου κυλίνδρου είναι  και επομένως . Αντικαθιστώντας στην παραπάνω έκφραση για το ηλεκτρικό πεδίο βρίσκουμε .

Για να βρούμε το πεδίο στο εξωτερικό των κυλίνδρων βρισκουμε πρώτα από τον νόμο του Gauss το πεδίο στο εξωτερικό ( )φορτισμένου κυλίνδρου ως . Επομένως το ολικό πεδίο στο εξωτερικό των κυλίνδρων γράφεται ως

όπου και  ,   (προφανώς ) είναι τα ακτινικά διανύσματα από τα κέντρα των φορτισμένων κυλίνδρων (προσοχή γιατί το σχήμα δεν έχει τον ίδιο συμβολισμό).  Η έκφραση για το ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να απλοποιηθεί ορίζοντας ως  το ακτινικό διάνυσμα από το κέντρο του πολωμένου κυλίνδρου (το μέσο μεταξύ των δύο φορτισμένων κυλίνδρων) οπότε  και

όπου έχουμε κρατήσει μέχρι γραμμικούς όρους ως προς την μικρή ποσότητα . Με αντικατάσταση στην έκφραση για το ηλεκτρικό πεδίο και χρήση της  παίρνουμε

6.

4.15

α.  Έχουμε

όπου το πάνω αποτέλεσμα αντιστοιχεί σε  και το κάτω σε . Από την σφαιρική συμμετρία προκύπτει ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι ακτινικό και επομένως  σε όλες τις περιοχές.  Για Γκαουσιανή επιφάνεια με  δεν υπάρχει περικλειόμενο φορτίο και επομένως . Για  το περικλειόμενο φορτίο είναι  και επομένως

. Τέλος για  το φορτίο είναι το ίδιο όπως και στον προηγούμενο υπολογισμό με  συν το επιφανειακό φορτίο για . Επομένως το περικλειόμενο φορτίο στην περίπτωση αυτή είναι  και .

β. Λόγω σφαιρικής συμμετρίας το  είναι ακτινικό και επομένως ισχύει  αφου δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία. Επομένως  και αφού  στο εσωτερικό και στο εξωτερικό του  κελύφους θα πρέπει  στις αντίστοιχες περιοχές. Μέσα στο κέλυφος τώρα ( ) έχουμε  που συμφωνεί με το αποτέλεσμα του α.    

7.

4.16

α. Θα βρούμε τα  και  στο εσωτερικό της κοιλότητας. Θα θεωρήσουμε την υπέρθεση του αρχικού σώματος διηλεκτρικού με πόλωση  χωρίς την κοιλότητα και πεδία - και ενός διηλεκτρικού στο σχήμα και την θέση της κοιλότητας με αντίθετη πόλωση  και πεδία - . Για την σφαιρική κοιλότητα έχουμε . Άρα το ολικό πεδίο στην κοιλότητα είναι  και επειδή η πόλωση στην κοιλότητα μηδενίζεται έχουμε .

β. Μια λεπτή, μακριά καρφίτσα με πόλωση   ισοδυναμεί με γραμμή διαδοχικών διπόλων που εξουδετερώνουν τα φορτία τους με εξαίρεση τα φορτία στα άκρα της καρφίτσας που βρίσκονται πολύ μακριά και επομένως μπορούν να αγνοηθούν.  Άρα  και . Αφού δεν υπάρχει πόλωση στην κοιλότητα έχουμε .

γ. Το κέρμα διηλεκτρικού με πόλωση   συμπεριφέρεται σαν επίπεδος  πυκνωτής με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στον επάνω οπλισμό  και αντίθετη στον κάτω οπλισμό. Επομένως το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των οπλισμών είναι ομόρροπο του   και έχει μέτρο . Επομένως  και  ενώ .

8.

4.18

Επιλέγουμε συν/νες τέτοιες ώστε ο πυκνωτής να βρίσκεται στο επίπεδο x-y και το  να έχει φορά προς τα πάνω.

Το ηλεκτρικό πεδίο λόγω των ελευθέρων φορτίων στους οπλισμούς του πυκνωτή πολώνει τα διηλεκτρικά με πόλωση  στην ίδια διεύθυνση και φορά με το ηλεκτρικό πεδίο  που με την σειρά του επάγει θετικά δέσμια φορτία στις κάτω επιφάνειες των διηλεκτρικών  και αρνητικά δέσμια φορτία στις πάνω επιφάνειες. Τα δέσμια αυτά φορτία παράγουν το δικό τους ηλεκτρικό πεδίο που θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπ οψιν. Πιο αναλυτικά έχουμε

α. Το πεδίο  εξαρτάται μόνο από το ελεύθερο φορτίο και επομένως  που είναι ομογενές και δεν αλλάζει στα δύο διηλεκτρικά.

β. Λόγω γραμμικότητας των διηλεκτρικών έχουμε . Αλλά το  είναι διαφορετικό στα δύο διηλεκτρικά και επομένως  και .

γ. Σε γραμμικό διηλεκτρικό έχουμε   και επομένως  και .

δ. Ολοκληρώνουμε το  μεταξύ των δύο οπλισμών και παίρνουμε .

ε. Έχουμε   και στα δύο διηλεκτρικά. Η επιφανειακή πυκνότητα είναι  και αφού το  έχει φορά προς το εξωτερικό του διηλεκτρικού έχουμε  στο κάτω μέρος του διηλεκτρικού 1 (αντίθετο στο πάνω μέρος) και  στο κάτω μέρος του διηλεκτρικού 2 (αντίθετο στο πάνω μέρος).

στ. Χρησιμοποιώντας όλα τα φορτία θέλουμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό κάθε διηλεκτρικού. Στο πάνω μέρος του διηλεκτρικού 1 η ολική πυκνότητα φορτίου είναι  ενώ η ολική πυκνότητα φορτίου κάτω από το διηλεκτρικό 1 είναι . Έτσι στο εσωτερικό του διηλεκτρικού 1 το ηλεκτρικό πεδίο είναι το ίδιο με αυτό που θα είχαμε μεταξύ δύο άπειρων πλακών με επιφανειακές πυκνότητες  δηλ.  με φορά προς τα κάτω. Αντίστοιχα στο πάνω μέρος του διηλεκτρικού 2  υπαρχει ολική επιφανειακή πυκνότητα  και στο κάτω μέρος . Έτσι το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό του διηλεκτρικού 2 είναι  με φορά προς τα κάτω.