Σετ Προβλημάτων 3

3.1

Επιλέγουμε σύστημα συν/νων με κέντρο το κέντρο της σφαίρας  και το στρέφουμε έτσι ώστε το φορτίο να βρίσκεται πάνω στον άξονα z σε απόσταση z από την αρχή ( ). Το δυναμικό πάνω στην σφαίρα είναι  όπου . Άρα η μέση τιμή του δυναμικού πάνω στην σφαίρα είναι

      όπου έγινε χρήση της  σχέσης  λόγω . Το αποτέλεσμα αυτό είναι ανεξάρτητο από την θέση του φορτίου στην σφαίρα και επομένως αν υπήρχαν περισσότερα φορτία θα βρίσκαμε . Αν υπήρχαν επιπλέον φορτία στο εξωτερικό της σφαίρας χρησιμοποιόντας την απόδειξη της σελ 149 βρίσκουμε για την μέση τιμή του δυναμικού στην σφαίρική επιφάνεια  .

 2.

3.4

Έχουμε μία περιοχή του χώρου που περικλείεται από ένα η περισσότερα όρια κι η πυκνότητα φορτίου δίνεται στο εσωτερικό της περιοχής. Ακόμα το  ή το  είναι καθορισμένο σε κάθε όριο. Για να αποδείξουμε ότι η λύση είναι μοναδική υποθέτουμε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικές λύσεις και κατόπιν δείχνουμε ότι πρέπει να είναι ίσες. Έτσι ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά ηλεκτρικά πεδία  και   στην περιοχή τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις  και . Τώρα έστω  και . Με αφαίρεση των παραπάνω εξισώσεων βρίσκουμε . Επομένως  . Χρησιμοποιόντας τώρα το θεώρημα της απόκλισης σε όγκο  με όριο επιφάνεια  βρίσκουμε

Τώρα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :

Ι. Αν το δυναμικό καθορίζεται πάνω στην επιφάνεια  οπότε τα δυναμικά συμφωνούν εκεί δηλ.  και .

ΙΙ. Η κάθετη παράγωγος  είναι καθορισμένη στην επιφάνεια  οπότε πρέπει να έχουμε  και

Αλλά από την παραπάνω εξίσωση

 προκύπτει και για τις δύο περιπτώσεις  και αφου  θα πρέπει αναγκαστικά . Άρα το πεδίο καθορίζεται μονοσήμαντα αν δινεται παντού η πυκνότητα φορτίου και το  ή το  είναι καθορισμένο σε κάθε όριο.

3.

3.8

Μπορούμε να αναπαράγουμε την ισοδυναμική επιφάνεια  με σύστημα φορτίων αντικαθιστώντας τον αγωγό με το σύστημα αυτών των φορτίων (είδωλα) τοποθετημένα εκτός της περιοχής του χώρου που μας ενδιαφέρει. Από την παραπάνω άσκηση (3.4) η λύση που θα προκύψει θα είναι η μοναδική λύση του προβλήματος. Έτσι τοποθετούμε μια άπειρη γραμμική πυκνότηατ φορτίου

Παράλληλη με τον άξονα x και σε απόσταση d κάτω από αυτόν.

Ι. Το δυναμικό άπειρης γραμμικής κατανομής φορτίου πυκνότητας  είναι  όπου  η κάθετη απόσταση από την κατανομή και  αυθαίρετη απόσταση αναφοράς. Επιλέγοντας  και για τις δύο γραμμικές πυκνότητες παίρνουμε αυτόματα  στο επίπεδο x-y. Θέλουμε να βρούμε το δυναμικό σε ένα αυθαίρετο σημείο στο επίπεδο y-z (το δυναμικό πρέπει να είναι ανεξάρτητο από το x λόγω συμμετρίας κατά τις μεταφορές προς τον άξονα στη διεύθυνση x) έστω  και  οι κάθετες αποστάσεις μεταξύ του σημείου Ρ και του θετικού  και αρνητικού και  γραμμικού φορτίου. Το δυναμικό στο  είναι το άθροισμα των δυναμικών λόγω της ύπαρξης της κάθε γραμμής φορτίου

μπορούμε να ελέγξουμε το αποτέλεσμα μας  πιστοποιώντας ότι   όπως και θα έπρεπε διότι ο αγωγός στο  είναι γειωμένος.  

ΙΙ. Η πυκνότητα φορτίου στο γειωμένο αγωγό είναι

4.

3.9

Θέλουμε να βρούμε το δυναμικό  στο πρώτο τεταρτημόριο  και έτσι μας επιτρέπεται να τοποθετήσουμε φορτία είδωλα στο εξωτερικό αυτής της περιοχής. Μπορούμε να προσθέσουμε ένα φορτίο είδωλο   στην θέση  για να πάρουμε μηδενικό δυναμικό κατά μήκος του άξονα x. Για να πάρουμε μηδενικό δυναμικό κατά μήκος του άξονα y  πρέπει να προσθέσουμε δύο επιπλέον φορτία είδωλα για να εξισορροπήσουμε τα δύο φορτία που ήδη έχουμε. Θα πρέπει να έχουν αντίθετα τα φορτία και θα πρέπει να τοποθετηθούν όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Ας υποθέσουμε ότι όλα τα φορτία βρίσκονται στο επίπεδο x-y. Το δυναμικό είναι το άθροισμα των συνεισφορών από τα τέσσερα φορτηγά και γράφεται ως εξής  

Η δύναμη στο q λόγω των αγώγιμων επιπέδων είναι η ίδια με την δύναμη στο q λόγω των φορτίων ειδώλων  που προκύπτει ως το διανυσματικό άθροισμα των τριών αντίστοιχων δυνάμεων. Οι συνιστώσες της δύναμης αυτής είναι οι εξής:

Το συνολικό έργο που απαιτείται για την μεταφορά του φορτίου q από το άπειρο προκύπτει ως το ¼ του έργου που απαιτείται για την μεταφορά των τεσσάρων φορτίων από το άπειρο μια και δεν μετράμε το έργο για την μεταφορά των ειδώλών αφού δεν απαιτείται έργο για την μεταφορά των επαγόμενων φορτίων στους αγωγούς. Επομένως από την σχέση (2.34) έχουμε

Η ίδια μέθοδος εφαρμόζεται αν αντι για τετράγωνο έχουμε οποιοδήποτε κανονικό n-γωνο.

5.

3.14

α.  Λόγω συμμετρίας δεν υπάρχει εξάρτηση από το z και επομένως έχουμε να λύσουμε την εξίσωση Laplace σε δύο διαστάσεις

Θεωρώντας δοκιμαστική λύση  και αντικαθιστώντας στην εξίσωση Laplace  παίρνουμε

Για να ισχύει η εξίσωση αυτή για κάθε x, y θα πρέπει ο κάθε όρος να ισούται με μία σταθερά. Επομένως

    και        με αντίστοιχες λύσεις   και . Επομένως

 όπου οι συντελεστές  καθορίζονται από τις οριακές συνθήκες:   απαιτεί  ,  απαιτεί ,  απαιτεί  για Άρα η πιο γενική λύση με βάση τις παραπάνω οριακές συνθήκες συνθήκες είναι ο γραμμικός συνδυασμός  

Για να βρούμε τις σταθερές  χρειαζόμαστε την τελευταία οριακή συνθήκη:   . Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με  και ολοκληρώνοντας από 0 μέχρι α παίρνουμε

β. Με σταθ. βρίσκουμε

όπου το πάνω ισχύει για n άρτιο και το κάτω αποτέλεσμα για n περιττό.

και έτσι παίρνουμε .

6.

3.15

Χρησιμοποιούμε και πάλι χωρισμό μεταβλητών αλλά στην περίπτωση αυτή έχουμε και εξάρτηση από το z. Με δοκιμαστική λύση  παίρνουμε από την εξίσωση Laplace . Κάθε όρος θα πρέπει να ισούται με σταθερά και το άθροισμα τους θα πρέπει να μηδενίζεται  δήλ.

 με λύσεις

 Οι οριακές συνθήκες  οδηγούν σε  ενώ οι  απαιτούν  και . Άρα με βάση αυτές τις οριακές συνθήκες η πιο γενική λύση γράφεται ως 

Οι σταθερές   προσδιορίζονται από την τελευταία οριακή συνθήκη  θέτοντας , πολλ/ζοντας και τα δυο μέλη με  και ολοκληρώνοντας τα x και y από 0 μέχρι α. Έτσι απομονώνουμε τον συντελεστη  ως

όπου το πάνω ισχύει για n ή m άρτιο και το κάτω αποτέλεσμα για n και m περιττό. Έτσι η τελική λύση έχει την μορφή

7.

3.43

α. Ισχύει η διανυσματική ταυτότητα

Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέρη και χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απόκλισης έχουμε την διανυσματική παραγοντική ολοκλήρωση

Θεωρώντας δύο συστήματα 1 και 2 (ξεχωριστές περιπτώσεις) έχουμε

Θεωρώντας την ολοκλήρωση μέχρι το άπειρο όπου τα δυναμικά μηδενίζονται παίρνουμε

Με τον ίδιο τρόπο εναλλάσσοντας τα 1 και 2 παίρνουμε

που είναι το θεώρημα της αμοιβαιότητας του Green.

β. Θα εφαρμόσουμε το παραπάνω αποτέλεσμα σε μια ειδική περίπτωση. Για σαφήνεια θα χρησιμοποιήσουμε τους δείκτες και  αντί για 1 και 2. Στο πρώτο σύστημα  βάζουμε φορτίο Q στον αγωγό  και ονομάζουμε  το δυναμικό στον αγωγό . Έτσι στο σύστημα αυτό η  είναι παντού μηδέν εκτός από τον αγωγό  και επομένως  και το δυναμικό είναι γνωστό μόνο πανω στον αγωγό  και  .

Τώρα ας θεωρήσουμε ένα άλλο σύστημα με τους ίδιους αγωγούς στις ίδιες θέσεις αλλά τώρα βάζουμε το ίδιο φορτίο Q στο αγωγό  και ονομάζουμε το δυναμικό του . Όπως και προηγουμένως έχουμε σε αντιστοιχία  ενώ το δυναμικό είναι γνωστό μόνο πάνω στον αγωγό .

Για να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Green πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα το . Η πυκνότητα  μηδενίζεται παντού εκτός από τον αγωγό που είναι ακριβώς η περιοχή όπου γνωρίζουμε το δυναμικό στο σύστημα  (2) . Επομένως

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε

 που με χρήση του θεωρήματος του Green οδηγεί σε  .