Σετ Προβλημάτων 2

1.

2.6

Λόγω συμμετρίας η μόνη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι κατά μήκος του άξονα z.

Έχουμε

Για  παίρνουμε το αναμενόμενο . Για μεγάλα z κάνουμε χρήση του αναπτύγματος

και παίρνουμε

που αντιστοιχεί στο πεδίο σημειακού φορτίου με

2.

2.16

Έστω  το ακτινικό μοναδιαίο διάνυσμα σε κυλινδρικές συν/νες.

Α. Με χρήση της κυλινδρικής συμμετρίας έχουμε για  ,  όπου το επιφανειακό ολοκλήρωμα είναι σε κυλινδρική επιφάνεια ακτίνας s και μήκους l. Το περικλειόμενο φορτίο είναι . Με χρήση το νόμου του Gauss τώρα παίρνουμε  .

Β.  έχουμε  και . Επομένως .

Γ.  έχουμε  άρα  αφου τα περικλειόμενα φορτία εξουδετερώνονται.

3.

2.18

Το ηλεκτρικό πεδίο ομοιόμορφα φορτισμένης σφαίρας  προκύπτει από το νόμο του Gauss ως εξής

 όπου  είναι το διάνυσμα από το κέντρο της σφαίρας προς το σημείο που μας ενδιαφέρει.

Εδώ έχουμε δύο σφαίρες και  το διάνυσμα από το κέντρο της θετικά φορτισμένης προς το κέντρο της αρνητικά φορτισμένης σφαίρας. Έστω Ρ σημείο στην κοινή περιοχή (δείτε σχήμα) και ,  τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης του Ρ από τα κέντρα των δύο σφαιρών. Το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο είναι

Αλλά .και επομένως 

4.

2.20

Για το (α) έχουμε  άρα δεν μπορεί να παριστάνει ηλεκτρικό πεδίο. Για το (β)  και επομένως μπορεί να παριστάνει ηλεκτρικό πεδίο. Για να βρούμε το δυναμικό στο σημείο  χρησιμοποιούμε την σχέση . Πηγαίνοντας με ευθείες γραμμές από το  στο  στο  και τελικά στο . Σε κάθε τμήμα υπολογίζουμε το . Στο πρώτο τμήμα  δεν έχουμε συνεισφορά διότι . Στο δεύτερο τμήμα  με    έχουμε . Στο τελευταίο τμήμα  με  και  και παίρνουμε . Άρα τελικά

Για έλεγχο του αποτελέσματος έχουμε  παίρνοντας το αναμενόμενο ηλεκτρικό πεδίο.

5.

2.26 (γ)

Υπολογίζουμε το δυναμικό από την σχέση . Ολοκληρώνοντας σε κυλινδρικές συν/νες έχουμε

που οδηγεί στο αναμενόμενο ηλεκτρικό πεδίο

  που υπολογίστηκε στο πρόβλημα 1.

6.

2.32 (α)-(β)

Στο εξωτερικό της σφαίρας

Στο εσωτερικό

Βρίσκουμε το δυναμικό με γραμμική ολοκλήρωση από το άπειρο. Για  

 και  για

α. Χρησιμοποιώντας την σχέση (2.37) και την  για το εσωτερικό της σφαίρας έχουμε

β. Από την (2.39) παίρνουμε

παίρνοντας το ίδιο αποτέλεσμα.

7.

2.37

Α. Έστω Γκαουσιανή επιφάνεια στο εξω οριο του αγωγού και στο εσωτερικό του αγωγού. Το πεδίο είναι μηδεν στο εσωτερικό του αγωγού και επομένως . Άρα το ολικό περικλειόμενο φορτίο είναι μηδέν λόγω του νόμου του Gauss. Άρα το φορτίο στά εσωτερικά όρια του αγωγού εξουδετερώνουν ακριβώς τα φορτία των περικλειόμενων σφαιρών. Λόγω συμμετρίας (το πεδίο και το φορτίο είναι μηδέν στο εξωτερικό του ορίου κάθε κοιλότητας) το φορτίο αυτό είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στο όριο των κοιλοτήτων. Άρα  και . Τέλος αφού ο αγωγός έχει μηδενικό φορτίο το φορτίο στην εξωτερική επιφάνεια θα πρέπει να είναι αντίθετο του φορτίου της εσωτερικής επιφάνειας. Άρα .

Β. Λόγω συμμετρικής κατανομής του φορτίου στο εξωτερικό όριο έχουμε  .

Γ. Λόγω συμμετρίας και νόμου του Gauss στο εσωτερικό κάθε κοιλότητας έχουμε  και  .

8.

2.40

Εστω φορτία  στους δύο ομόκεντρους κυλινδρικούς αγωγούς. Η χωρητηκότητα του συστήματος είναι  και η εξάρτηση από το φορτίο θα πρέπει τελικά να απλοποιηθεί αφού η χωρητικότητα εξαρτάται μόνο από την γεωμετρία του συστήματος. Έστω  οι γραμμικές πυκνότητες φορτίων στους δύο κυλίνδρους. Με εφαρμογή του νόμου του Gauss έχουμε   . Επομένως η διαφορά δυναμικού είναι

Παίρνοντας την απόλυτη τιμή του δυναμικού έχουμε

και η χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους είναι   που είναι ανεξάρτητη του φορτίου.

9.

2.51

Η διαφορική μορφή του νόμου του Gauss   οδηγεί σε  και επομένως η πυκνότητα φορτίου είναι ομοιόμορφη.

Η ίδια κατανομή προκύπτει και για άλλης μορφής πεδία πχ  ή .  Επομένως ή μορφή της πυκνότητας φορτίου δεν επαρκεί για τον μονοσήμαντο προσδιορισμό του ηλεκτρικού πεδίου. Απαιτείται επιπλέον, γνώση των οριακών συνθηκών. Είναι σαν να ζητάμε μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος να είναι 3. Πιθανές τέτοιες συναρτήσεις είναι . Μέχρι να καθορισθούν οι οριακές συνθήκες (πχ ) δεν υπάρχει μονοσήμαντη απάντηση.