Σετ Προβλημάτων 6

1. Μικρή μπάλα με ροπή αδράνειας  n m r²   ισορροπεί στην κορυφή  στερεωμένης σφαίρας ακτίνας R μπάλα αρχίζει  να κυλά προς τα κάτω χωρίς ολίσθηση. Σε ποιό σημείο χάνει την επαφή με την σφαίρα; Υποθέστε R>> r.

Λύση

2. Α. Ράβδος μήκους  και μάζας m ισορροπεί σε στηρίγματα στα άκρα του. Το δεξί στήριγμα αφαιρείται απότομα. Ποια είναι η δύναμη από το αριστερό στήριγμα αμέσως μετά την αφαίρεση;
Β. Ράβδος μήκους 2r και ροπής αδράνειας  n m r²  ( η σταθερά)  ισορροπεί πάνω σε δύο στηρίγματα που ισαπέχουν από το κέντρο της απόστασης d. Το δεξί στήριγμα αφαιρείται απότομα. Βρείτε την δύναμη από το αριστερό στήριγμα αμέσως μετά την αφαίρεση. 

Λύση

3. Μικρό ομοιογενές μπαλάκι ακτίνας r κυλά χωρίς να ολισθαίνει στο εσωτερικό κυλίνδρου ακτίνας R. Ποια είναι η συχνότητα μικρών ταλαντώσεων γύρω από την θέση ισορροπίας; 

Λύση

4. Μπαλάκι μάζας  m χτυπά ράβδο με ροπή αδράνειας Ι. Το μπαλάκι κινείται αρχικά με ταχύτητα υ₀ κάθετα προς την ράβδο σε απόσταση d από το κέντρο της. Η σκέδαση είναι ελαστική. Βρείτε την τελική ταχύτητα που έχει το μπαλάκι και την τελική μεταφορική και περιστροφική ταχύτητα της ράβδου. 

Λύση

5. Στερεό σώμα αποτελείται από δύο σωμάτια μάζας  m στερεωμένα στα άκρα άμαζης ράβδου. Η ράβδος σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από κάθετο άξονα που περνάει από το μέσον της.
Α. Βρείτε την στροφορμή του σώματος.
Β. Βρείτε την ροπή που πρέπει να εξασκηθεί στο σώμα για να διατηρηθεί η περιστροφική κίνηση.
Λύση

6. Μπαλάκι αρχικά γλυστρά χωρίς να κυλιέται σε οριζόντια επιφάνεια με τριβή. Η αρχική του ταχύτητα είναι υ₀  και η ροπή αδράνειάς του Ι= nmR² (η σταθερή).
Α. Βρείτε την ταχύτητα που έχει το μπαλάκι όταν αρχίζει να κυλά χωρίς να ολισθαίνει, καθώς και την κινητική ενέργεια που χάνεται κατά την ολίσθηση.
Β. Αν ο συντελεστής τριβής είναι μ  ποια χρονική στιγμή και σε πόση απόσταση αρχίζει το μπαλάκι να κυλά χωρίς να ολισθαίνει; 
Λύση

1. Σωμάτιο κινείται σε δυναμικό           (κεντρικό δυναμικό)
Α. Δεδομένης στροφορμής L βρείτε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς αρκεί η σχετική εξίσωση).
Β. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της  L για την οποία υπάρχει κυκλική τροχιά; Ποια είναι η τιμή του V_εν(r) γι αυτή την κρίσιμη τροχιά;
Λύση

2. Σωμάτιο κινείται σε δυναμικό                

Α. Δεδομένης  στροφορμής L  βρείτε την μέγιστη τιμή του ενεργού δυναμικού  V_εν(r)
Β. Έστω ότι το σωμάτιο έρχεται από το άπειρο με ταχύτητα υ₀ και  παράμετρο σύγκρουσης b. Ποια είναι η μέγιστη τιμή του b (b_max) για την οποία το σωμάτιο δεσμεύεται από το δυναμικό; Ποια είναι η αντίστοιχη ενεργός διατομή σκέδασης 

(σ =b_max²) 
Λύση

3. Δίνεται η τροχιά       που προκύπτει σε κεντρικό δυναμικό V(r) . Χρησιμοποιείστε την διατήρηση της στροφορμής L και της ενέργειας Ε για να βρείτε το δυναμικό  V(r) .      
Λύση 

4. Σωμάτιο μάζας  m   κινείται σε κύκλο υπό την επίδραση κεντρικής ελκτικής δύναμης 

Α. Βρείτε τις συνθήκες στην σταθερά  α ώστε η κυκλική κίνηση να είναι ευσταθής

Β. Υπολογίστε την συχνότητα μικρών ακτινικών ταλαντώσεων  γύρω από αυτήν την κυκλική κίνηση  
Λύση 

5. Σωμάτιο μάζας  m κινείται σε επίπεδο υπό την  επίδραση  κεντρικού δυναμικού  V(r)  και υπό την επίδραση τριβών της μορφής . Γράψτε τις εξισώσεις Lagrange σε επίπεδες πολικές συντεταγμένες και δείξτε ότι η στροφορμή μειώνεται εκθετικά.
Λύση

6. Αστέρι μάζας m και ακτίνας R κινείται με ταχύτητα υ μέσα από νέφος σωματιδίων πυκνότητας ρ.  Αν όλα τα σωμάτια που συγκρούονται με το αστέρι παγιδεύονται από αυτό (χωρίς να αυξάνει η ακτίνα του) δείξτε ότι η μάζα του αστεριού αυξάνει με ρυθμό:  .
Λύση