Σετ Προβλημάτων 5

1. Σωμάτιο κινείται σε δυναμικό           (κεντρικό δυναμικό)
Α. Δεδομένης στροφορμής L βρείτε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς αρκεί η σχετική εξίσωση).
Β. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της  L για την οποία υπάρχει κυκλική τροχιά; Ποια είναι η τιμή του V_εν(r) γι αυτή την κρίσιμη τροχιά;
Λύση

2. Σωμάτιο κινείται σε δυναμικό                

Α. Δεδομένης  στροφορμής L  βρείτε την μέγιστη τιμή του ενεργού δυναμικού  V_εν(r)
Β. Έστω ότι το σωμάτιο έρχεται από το άπειρο με ταχύτητα υ₀ και  παράμετρο σύγκρουσης b. Ποια είναι η μέγιστη τιμή του b (b_max) για την οποία το σωμάτιο δεσμεύεται από το δυναμικό; Ποια είναι η αντίστοιχη ενεργός διατομή σκέδασης 

(σ =b_max²) 
Λύση

3. Δίνεται η τροχιά       που προκύπτει σε κεντρικό δυναμικό V(r) . Χρησιμοποιείστε την διατήρηση της στροφορμής L και της ενέργειας Ε για να βρείτε το δυναμικό  V(r) .      
Λύση 

4. Σωμάτιο μάζας  m   κινείται σε κύκλο υπό την επίδραση κεντρικής ελκτικής δύναμης 

Α. Βρείτε τις συνθήκες στην σταθερά  α ώστε η κυκλική κίνηση να είναι ευσταθής

Β. Υπολογίστε την συχνότητα μικρών ακτινικών ταλαντώσεων  γύρω από αυτήν την κυκλική κίνηση  
Λύση 

5. Σωμάτιο μάζας  m κινείται σε επίπεδο υπό την  επίδραση  κεντρικού δυναμικού  V(r)  και υπό την επίδραση τριβών της μορφής . Γράψτε τις εξισώσεις Lagrange σε επίπεδες πολικές συντεταγμένες και δείξτε ότι η στροφορμή μειώνεται εκθετικά.
Λύση

6. Αστέρι μάζας m και ακτίνας R κινείται με ταχύτητα υ μέσα από νέφος σωματιδίων πυκνότητας ρ.  Αν όλα τα σωμάτια που συγκρούονται με το αστέρι παγιδεύονται από αυτό (χωρίς να αυξάνει η ακτίνα του) δείξτε ότι η μάζα του αστεριού αυξάνει με ρυθμό:  .
Λύση