Σετ Προβλημάτων 4

 

1. Μια μάζα m είναι ελεύθερη να κινείται σε τραπέζι χώρος τριβής και συνδέεται με νήμα που περνάει από μια τρύπα στο τραπέζι με μια μάζα  m που κρέμεται από κάτω. Υποθέστε ότι η μάζα m κινείται μόνο κάθετα και το νήμα είναι τεντωμένο

Α. Βρείτε  τις εξισώσεις κίνησης για τις μεταβλητές  r και  θ (βλέπε σχήμα).

Β. Ποια είναι η συνθήκη για να εκτελεί η m κυκλική κίνηση;

Γ. Ποια είναι η συχνότητα μικρών ταλαντώσεων (στην μεταβλητή   r) γύρω από αυτή  την κυκλική κίνηση;

Λύση

2. Λύστε με  την μέθοδο Lagrange  το πρόβλημα 1.2 :Μάζα m κρατιέται ακίνητη σε κεκλιμένο επίπεδο μάζας Μ και γωνίας θ (βλ. σχήμα) χωρίς τριβές. Η μάζα m απελευθερώνεται. Ποιά είναι η οριζόντια επιτάχυνση του επιπέδου?

Λύση 

3. Ένα εκκρεμές αποτελείται από μάζα m και άμαζη ράβδο μήκους l . Το στήριγμα του εκκρεμούς  ταλαντώνεται οριζόντια και η θέση του  x(t) δίνεται από x(t)=A cos(ωt)
Βρείτε την εξίσωση κίνησης της γωνίας του εκκρεμούς..

Λύση 

4. Μια μάζα m γλιστρά σε κεκλιμένο επίπεδο χωρίς τριβή σε γωνία θ με την οριζόντιο. Δείξτε με την μέθοδο Lagrange ότι η κάθετη δύναμη δεσμού του κεκλιμένου επιπέδου είναι η γνωστή m g cosθ .

Λύση 

5. Θεωρείστε την μηχανή του Atwood που φαίνεται στο σχήμα. Οι μάζες είναι  4m, 3m  και  m. ΄Εστω  x και  y τα ύψη της αριστερής και της δεξιάς τροχαλίας. Βρείτε την ορμή που διατηρείται εφαρμόζοντας το θεώρημα του Noether.   

Λύση

6. Κατ’ αναλογία με την αρχή του Hamilton και τις εξισώσεις Lagrange δείξτε ότι η καμπύλη ελάχιστης απόστασης (γεωδαισιακή) μεταξύ δυο σημείων στο επίπεδο είναι η ευθεία.

Λύση

7. Μάζα M είναι στερεωμένη στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R που περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από το κέντρο του. Η Μ είναι δεμένη  με νήμα που περνάει από άμαζη τροχαλία  και καταλήγει σε μάζα m που κρέμεται  στο άλλο άκρο του νήματος. Βρείτε την εξίσωση κίνησης της  γωνίας που σχηματίζει  η ακτίνα που αντιστοιχεί στην Μ με την κατακόρυφο. Ποια είναι η συχνότητα  μικρών ταλαντώσεων; (Υποθέστε M>m).

Λύση

8. Διπλό εκκρεμές αποτελείται από μάζα m στερεωμένη σε άμαζη ράβδο μήκους l , από την οποία εξαρτάται άλλη μια τέτοια ράβδος και μάζα. Η κίνηση  γίνεται στο επίπεδο x-y.

Α. Βρείτε την Lagrange του συστήματος.

Β. Για μικρές ταλαντώσεις    θ1, θ2 <<1  βρείτε τις εξισώσεις κίνησης.

Γ. Βρείτε τις συχνότητες κανονικών τρόπων ταλάντωσης.

Λύση