Κλασσική Μηχανική Ι

Τετάρτη,  29/1/2003

Τελική Γραπτή Εξέταση

Διάρκεια: 3 ώρες  

Διδάσκων: Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Σύνολο Μονάδων: 10.5 

Τα θέματα θα πρέπει να παραδίδονται κατά την παράδοση του γραπτού. Θα τοποθετηθούν στην ιστοσελίδα του μαθήματος αμέσως μετά την εξέταση.  Οι λύσεις θα τοποθετηθούν επίσης στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Παρακαλώ φροντίστε να συμπληρώσετε και την φόρμα αξιολόγησης του μαθήματος που είναι στην ίδια ιστοσελίδα.

Καλή Επιτυχία!

1.   Δίνεται το παρακάτω σύστημα συζευγμένων ταλαντωτών όπου k οι σταθερές των ελατηρίων και m οι μάζες.

Το σύστημα αρχικά ισορροπεί. Την στιγμή t=0 οι μάζες απομακρύνονται από την θέση ισορροπίας τους κατά x₁(t=0) και x₂(t=0) αντίστοιχα και αφήνονται να ταλαντωθούν με μηδενική αρχική ταχύτητα. Βρείτε την χρονική εξέλιξη του συστήματος αν

Α. x₁(t=0)=x₂(t=0)=α  

Β. x₁(t=0)=-x₂(t=0)=α

Ποιοι είναι οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης και ποιες οι αντίστοιχες συχνότητες ;

(2 μονάδες)

2.      Σωμάτιο σε δύο διαστάσεις υπόκειται σε δυναμικό

Α.  Γράψτε την Lagrangian της κίνησης σε καρτεσιανές συντεταγμένες.    (0.5 μονάδα)

Β.  Δείξτε ότι ο μετασχηματισμός   (ε είναι μικρή σταθερά) αποτελεί συμμετρία του συστήματος (αγνοήστε όρους τάξης ε²) και χρησιμοποιήστε το θεώρημα του Noether για να βρείτε την αντίστοιχη διατηρούμενη ποσότητα.

(1 μονάδα)

Γ.  Γράψτε την Lagrangian σε επίπεδες πολικές συντεταγμένες ρ, φ και δείξτε ότι η φ είναι κυκλική συντεταγμένη. Συγκρίνετε την αντίστοιχη διατηρούμενη ποσότητα (ορμή) με την διατηρούμενη ποσότητα που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα. (1 μονάδα)

3.      Α. Βρείτε τον τανυστή ροπής αδράνειας που αντιστοιχεί σε σωμάτιο που κινείται στο επίπεδο x-y σε κυκλική τροχιά ακτίνας ρ γύρω από τον άξονα z. Θεωρείστε ως αρχή των αξόνων το κέντρο της τροχιάς. (1 μονάδα)

Β.  Έστω ότι το σωμάτιο του προηγούμενου ερωτήματος κινείται με γωνιακή ταχύτητα  όπου  μοναδιαίο διάνυσμα στο άξονα z. Χρησιμοποιήστε την σχέση για να βρείτε την στροφορμή του σωματίου. Επαληθεύστε το αναμενόμενο από στοιχειώδη φυσική αποτέλεσμα. (1 μονάδα)

4.      Δίνεται κεντρικό δυναμικό   

Α. Δείξτε ότι η κίνηση στο δυναμικό αυτό γίνεται σε σταθερό επίπεδο
(1 μονάδα)

Β. Δεδομένης της στροφορμής  βρείτε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς σωματιδίου που κινείται στο παραπάνω δυναμικό. (1 μονάδα)

5.      Κυκλικός δίσκος στο επίπεδο x-y περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα  γύρω από το κέντρο του Ο.  Μυρμήγκι βρίσκεται σε απόσταση ρ από το  Ο και περπατάει ακτινικά προς τα μέσα με ταχύτητα  (όπου  ακτινικό μοναδιαίο διάνυσμα) στο σύστημα αναφοράς του δίσκου. Βρείτε τις αδρανειακές δυνάμεις (φυγόκεντρο και Coriolis) και την δύναμη στατικής τριβής που απαιτείται για να διατηρηθεί σταθερή η ταχύτητα του μυρμηγκιού στο σύστημα αναφοράς του δίσκου. (1 μονάδα)

6.      Μπάλα μπιλιάρδου συγκρούεται ελαστικά με ίδια ακίνητη μπάλα. Δείξτε ότι όταν η κρούση δεν είναι κατά μέτωπο η γωνία μεταξύ των τελικών τροχιών είναι 90⁰.  (1 μονάδα)

Δίνονται  οι παρακάτω σχέσεις που ίσως φανούν χρήσιμες:

Επίπεδες Πολικές Συντεταγμένες:

Τανυστής Ροπής Αδράνειας: