Κλασσική Μηχανική Ι

Γραπτή Εξέταση Ιουνίου 2003

Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες. Οι λύσεις των θεμάτων είναι διαθέσιμες στο γραφείο μου. Καλή Επιτυχία!

1. Σωμάτιο κινείται σε πεδίο δύναμης , όπου και είναι τα μοναδιαία διανύσματα σε επίπεδες πολικές συν/νες που ορίζονται ως Γράψτε τις διαφορικές εξισώσεις που υπακούουν οι πολικές σύν/νες του διανύσματος θέσης του σωματίου.
   (1.5 μονάδα)

2. Δύο ελαστικές σφαίρες με μάζες Μ και m (M>m) βρίσκονται σε επαφή με την μεγάλη μάζα στο κάτω μέρος και χτυπούν στο έδαφος με ταχύτητα . Βρείτε την ταχύτητα αναπήδησης της μικρής σφαίρας που βρίσκεται στο πάνω μέρος.
   (1 μονάδα)

3. Δίνεται εκκρεμές μάζας m του οποίου το νήμα αντικαθίσταται από ελατήριο φυσικού μήκους l. Χρησιμοποιήστε την μέθοδο της Lagrangian για να βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης των δύο βαθμών ελευθερίας του συστήματος.
   (1 μονάδα)

4. Χρησιμοποιήστε τις εξισώσεις Lagrange για να βρείτε πότε διατηρείται η συνάρτηση ενέργειας σε σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας. (1 μονάδα)
   
   
5. α. Διατυπώστε και αποδείξτε το θεώρημα Noether. (1.5 μονάδα)

β. Δίνεται η Lagrangian . Βρείτε μια συμμετρία και την αντίστοιχη διατηρούμενη ποσότητα. (1 μονάδα)

6. Δείξτε ότι η κινητική ενέργεια επιπέδου στερεού σώματος ισούται με το

άθροισμα της κινητικής ενέργειας του κέντρου μάζας συν την κινητική

ενέργεια περιστροφής γύρω από το κέντρο μάζας. (1.5 μονάδα)

7. Μάζα m κρατιέται ακίνητη σε κεκλιμένο επίπεδο μάζας Μ και γωνίας θ. Η μάζα m απελευθερώνεται. Ποια είναι ή οριζόντια επιτάχυνση του επιπέδου; (1.5 μονάδα)